LeetCode Problem 62-Unique Paths

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不同路径。一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明： m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:

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输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

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输入: m = 7, n = 3
输出: 28

思路一

动态规划。dp[i][j] 表示在 i * j 的网络上的路径的条数，则到达位置 \((i,j)\)，或者从 \((i,j)\) 左边过来，或者从 \((i,j)\) 上边过来，即 dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j]。时间复杂度 \(O(mn)\)。

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class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp = [[1] * n for _ in range(m)]
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j]
        return dp[m-1][n-1]

思路二

从 \((0, 0)\) 走到 \((m,n)\)，一共需要走 \(m + n - 2\) 步，其中 \(m-1\) 步向下，\(n-1\) 步向右，所以这是一个组合问题，只需计算 \(C_{m+n-2}^{m-1}\) 或 \(C_{m+n-2}^{n-1}\) 即可。时间复杂度 \(O(m)\) 或 \(O(n)\)。

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class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        N = m + n - 2
        k = m - 1
        rs = 1
        for i in range(1, k + 1):
            rs = rs * (N - k + i) / i
        return int(rs)

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